지하수의 유동방정식
지하수는 전수두(위치수두와 압력수두의 합)가 큰 곳에서 작은 곳으로 흐르며 Darcy의 법칙은 모든 지하수 유동의 기본이므로 반드시 숙지해야 한다.
1. 수리수두와 Darcy의 법칙 ☞ 필수 숙지 사항
모세관을 통해 흐르는 유체의 속도는 그 동수구배에 비례한다는 사실이 1830년대 발견된 이후, 1856년에 Darcy는 모래를 통해서 흐르는 유체의 시험을 실시한 후 처음으로 층류도 그 속도가 동수구배에 직접 비례함을 발견하고, 현재까지도 널리 사용되고 있는 다음의 식을 유도해냈다.
다공질매체 내에서 지하수의 평균선형유속(투수유속)
➀ 평균선형유속
지하수는 다공질 매질내부를 통과하므로 지하수의 유속은 매질의 공극율을 고려해야만 한다. 공극유속
ex) 공극율이 25% 라면 V는 4v이다.
➁ 그러나 실제로 대수층에서 임의의 두 지점 사이에서 측정한 지하수의 유속은 지하수 유선의 통로, 입경 등에 따라 변함. 지하수의 평균유속은 대수층내로 오염물질이 유입되는 시간이나 지하수가 흘러간 거리 등을 예견할 때 널리 사용됨.
(3) Darcy 법칙의 일반적 표현
Darcy 법칙은 본래 균질, 비압축성 유체의 선형운동에 적용되는 운동방정식으로서 실제 공학문제를 풀기 위해서는 3차원으로 일반화한다.
➀ 유체 유동이 3차원인 경우 매질이 등방성을 나타낼 경우 일반화된 Darcy 법칙
➁ 압축성 유체인 경우에 일반화된 Darcy 법칙
➂ 매질이 이방성인 경우 일반적인 Darcy 법칙
(4) Darcy 법칙의 적용한계
Darcy 법칙이 적용되는 한계는 유체의 속도와 수두구배가 비례하여 층류가 발생하는 범위로 유체의 속도가 매우 낮아 미세침투가 발생하거나 일정치 이상이 되어 난류가 형성되는 경우에는 Darcy 법칙을 적용할 수가 없음.
➀ 층류(Laminar flow)
┏ 지하수가 흐를 때 흐름의 직각방향의 속도성분이 없는 흐름
┗ 유속이 매우 느린 경우
➁ 난류(Turbulent flow)
– 직각방향의 속도성분이 있는 흐름으로 유속이 빠른 경우
(5) 레이놀즈수
Darcy 법칙의 적용한계를 구분하기 위해서는 레이놀즈수(Reynolds number)를 이용하며, 레이놀즈수란 유체에 작용하는 점성력에 대한 관성력의 비로 층류와 난류의 기준이 됨.
➀ Raynold`s number(무차원)
┏ 층류와 난류를 규정하며, 유체의 점성력에 대한 관성의 비로 표현
┗ 층류(laminar flow) : NR < 1 < NR : 난류(turbulent flow)
여기서, ρ:밀도(density), ν:속도(velocity), μ:점성(viscosity), R:수압 반경(hydraulic radius)
➁ 일반적으로 지하수의 경우 속도가 매우 느리고 0~10이내의 레이놀드 수를 가지므로 통상 층류에 해당
➂ 그러나 양수정 부근에서 우물로 유입되는 지하수나 제주지역의 용암과 같은 고투수성구간에서 흐르는 지하수는 유속이 매우 빠르므로 난류임
2. 지하수의 유동
(1) 지하수위
h : 지하수위
z : 기준면으로부터의 고도(위치에너지)
p : 지하수압
: 밀도
g : 중력가속도
➀ 지하수의 유동력은 지하수위로 표시하며 이것은 지하수 단위 중량당의 역학적 에너지임.
➁ 지하수의 흐름은 매우 느리므로 운동에너지(속도에너지)는 무시하고 위치에너지와 압력에너지(
로 나타냄. 즉, 지하수위(h)는 위치수두(z)와 압력수두()의 합으로 표시함.
➂ 지하수위의 측정은 피조메터를 이용하며 이를 통해 지하수의 유동방향 등을 파악할 수 있음
(2) 유선망
➀ 개념
▪ 물이 흐르는 자취인 유선과 전수두가 일정한 즉, 손실수두가 동일한 위치를 연결한 등수두선에 의해 이루어진 곡선군
▪ 유선망에서 등수두선(equipotential line)이란 전수두가 일정한 점들을 연결한 선이다.
➁ 목적 및 용도
▪ 목적 : 침투유량 및 임의 지점에서의 간극수압을 알기 위함
▪ 용도 : quick sond 및 piping 현상 해석, 침투속도, 유량, 침투수압 등 측정.
➂ 유선망의 성질
▪ 각 유로의 침투량은 같다
▪ 유선과 등수두선은 같다.
▪ 유선망으로 이루어진 사각형은 정사각형이다.
▪ 인접한 2개의 등수두선 사이의 수두 손실은 서로 동일하다.
▪ 침투 속도 및 동수구배는 유선망의 폭에 비례한다.
(3) 유체역학의 베르누이 방정식
➀ 유체의 일반적인 특성 : 수리지질학에서는 유체동력학의 취급을 단순화하기 위하여 정상, 비회전, 비압축성, 비점성의 흐름으로 가정하고 접근
➁ 유선과 연속방정식
유체 내의 모든 점을 연결하여 유선을 그릴 수 있으며 정상류에서 몇 개의 유선을 선택하여 유선모양의 다발을 그리면 이를 유관이라 함. 이러한 관의 경계는 유선으로 되어 있기 때문에 유관의 경계를 지나는 흐름은 없으며, 이는 같은 모양의 파이프와 비슷하게 연속적으로 행동한다. 따라서 연속방정식은 유체동역학에서 질량 보존의 법칙을 나타냄.
➂ 베르누이의 방정식
▪ 베르누이의 방정식은 유체역학에서 기본적인 관계식
▪ 일–에너지 정리를 유체 흐름에 적용하여 유도
▪ 일–에너지 정리에서 내부에너지의 증가가 없다는 가정 하에서 계에 작용한 합력이 한 일은 계의 운동에너지의 변화와 같음.
➃ 다음을 정상류, 비점성류, 비압축성류에 대한 베르누이의 방정식이라 glai 모든 항은 압력의 차원임.
(4) 지하수의 수두(Hydraulic Head)와 포텐셜 (Fluid Potential)의 개념
➀ 개관
㉠ 열은 높은 온도에서 낮은 온도로 흐르며, 전기는 높은 전압에서 낮은 전압으로 흐른므로 온도와 전압은 포텐셜량이며, 이러한 포텐셜 구배를 공극이 많은 매체를 유동하는 물의 흐름에 적용시킬 수 있음.
㉡ 포텐셜은 물리적인 량이므로 유동계의 모든 점에서 측정이 가능하며, 어떤 공간에서의 방향에 상관없이 높은 곳에서 낮은 곳으로 흐름.
㉢ 다공질 매질을 통해 흐르는 유체의 포텐셜은 유체의 단위질량당 역학적인 에너지
➁ 유체의 흐름시 3가지의 일
㉠ 표고 z=0에서 표고 z까지 올리는 데 필요한 일
㉡ 속도 V=0에서 속도 V까지 유체를 가속시키는 데 필요한 일
㉢ 압력 P=Po에서 압력 P까지 올리는데 유체에서 한 일
➂ 포텐셜의 정의
㉠ 단위 면적당 역학적인 에너지인 유체의 포텐셜은 위의 3가지 일의 합으로 나타냄.
㉡ 다공질 매질에서의 유체의 속도는 매우 낮으므로,
㉢ Darcy 법칙에서 유체의 압력 P는
∴ 윗 식을 정리하면 다음과 같이 나타냄.
ㅇ 포텐셜(Φ)은 단위질량당 에너지이고, 수두(h)는 단위무게당 에너지
3. 지하수의 흐름지배식
대수층이 이방(anisotropic)이고 불균질(heterogeneous)일 경우 대수층의 수리전도도는 직교좌표계의 1개 지점에서 방향에 따라 그 값이 다르다. 일반적으로 Darcy 법칙의 일차원적인 흐름률(1D flux)인 q는 다음과 같이 표현될 수 있다.
q = -K∇Φ
(1) 지하수의 3차원 흐름지배식
▪ 대수층을 통해서 운동하는 지하수의 흐름식을 유도하기 위해서 대표요소체적을 통해 dt시간동안 유출 및 유입된 지하수량은 dt시간 동안 대표체적 내에 들어 있던 지하수의 질량변화율과 같다. 즉 오일러의 운동방정식 중에서 질량보존의 법칙을 적용하면 다음과 같다.
(dt시간동안 대표요소체적내에서 변화량) = (dt시간동안 대표요소체적으로 유입된 질량)
+ (dt시간동안 대표요소체적 밖으로 유출된 질량)
▪ 대표요소체적 내에서 흐르는 유체를 지하수라고 하면 일정한 온도에서 지하수의 밀도는 일정하므로 다음과 같이 표현가능하다.
{ ∂qx} over {∂x }+ { ∂qy} over {∂y } + { ∂qz} over {∂z}= { ∂n} over {∂t } APPROX { ∂n} over {∂h } CDOT { ∂h} over {∂t }=Ss{ ∂h} over {∂t }
▪ 여기서 비저류계수(Specific Storage)는 수두변화에 따른 공극률의 변화와 같다.
① 대수층이 불균질, 이방일 때 지하수의 부정류 흐름지배식
{ ∂} over {∂x } [ Kxx { ∂h} over {∂x} ] + { ∂} over {∂y } [ Kyy { ∂h} over {∂y} ]+ { ∂} over {∂z } [ Kzz { ∂h} over {∂z} ] =Ss { ∂h} over {∂t }
② 대수층이 불균질, 등방일 때 지하수의 부정류 흐름지배식
{ ∂} over {∂x } [ K { ∂h} over {∂x} ] + { ∂} over {∂y } [ K { ∂h} over {∂y} ]+ { ∂} over {∂z } [ K { ∂h} over {∂z} ] =Ss { ∂h} over {∂t }
③ 대수층이 균질, 이방일 때 지하수의 부정류 흐름지배식
Kxx { {∂ }^{2 } h} over {∂ {x }^{2 } }+ Kyy { {∂ }^{2 } h} over {∂ {y }^{2 } }+ Kzz{ {∂ }^{2 } h} over {∂ {z}^{2 } } =Ss { ∂h} over {∂t }
④ 대수층이 균질, 등방일 때 지하수의 부정류 흐름지배식
K [ { {∂ }^{2 } h} over {∂ {x }^{2 } }+ { {∂ }^{2 } h} over {∂ {y }^{2 } }+ { {∂ }^{2 } h} over {∂ {z}^{2 } }]=Ss { ∂h} over {∂t }
⑤ 불균질, 이방의 피압대수층의 포화두께 b가 일정한 경우에는 T=Kb, bSs=S이므로 다음과 같이 표현가능하다.
{ ∂} over {∂x } [ Txx{ ∂h} over {∂x} ] + { ∂} over {∂y } [ Tyy { ∂h} over {∂y} ]+ { ∂} over {∂z } [ Tzz { ∂h} over {∂z} ] =Ss { ∂h} over {∂t }
⑥ 대수층이 불균질, 이방일 때 지하수의 정류 흐름지배식
이 경우 Ss=0 이거나 ∂h/∂t→0 이므로 우측항이 0임
{ ∂} over {∂x } [ K { ∂h} over {∂x} ] + { ∂} over {∂y } [ K { ∂h} over {∂y} ]+ { ∂} over {∂z } [ K { ∂h} over {∂z} ] =0
(2) 이방성 대수층
필드테스트에서 사실 균질하고 등방성인 이상적인 대수층은 존재하지 못한다. 대수층의 구성물질의 크기, 모양, 배열상태에 의한 일차적 공극과 장소에 따라 열극, 절리, 단층, 열개 등 이차적인 공극도 다르기 때문이다.